곡선(Curve) & 스플라인(Spline)

곡선

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곡선을 표현하기에 앞서, 두 정점 (A, B) 사이에 있는 점 P를 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

 

 

 

또한 곡선은 t에 대한 방정식(P(t))으로 표현할 수 있다.

 

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베지에 곡선(Bézier Curves)

 

n차 베지에 곡선은 n+1개의 점으로 얻을 수 있는 베지에 곡선이다.

 

1차(Linear) 베지에 곡선은 앞서 말한 점 A,B 사이에 있는 점 P의 집합으로 표현할 수 있다.

말이 곡선이지, 사실상 A-B를 잇는 선분이다. 

 

 

2차(Quadratic) 베지에 곡선은 아래와 같다.

 

2차 베지에 곡선

 

2차 베지에 곡선은 A와 B를 잇는 1차 베지에 곡선 위에 있는 한 점 AB(t)와 B와 C를 잇는 1차 베지에 곡선 위의 한 점 BC(t)사이에 있는 한 점 P(t)의 집합으로 볼 수 있다.

 

 

식으로 표현하면 다음과 같을 것이다.

 

 

 

이때 두 선분 AB와 BC의 길이가 다르다면 밀도(속도)의 차이가 발생할 수 있다.(비 균일성(Non-Uniformity)) 다시 말하면 t가 증가함에 따라 이동하는 거리가 차이 날 수 있다.

 

밀도 차이

참고로 이런 밀도차이는 잘 이용하면 장점이 될 수 있는데, 예를 들어 A, B, C가 한 직선에 있으며 B, C의 길이가 A, B의 길이보다 더 긴 경우 A에 가까울수록 밀도가 높고, C에 가까울수록 밀도가 낮은 직선을 만들 수 있다. 이것을 이용하면 시작할 때는 느리게 가고 점점 빨라지는 직선 방정식을 만들 수 있다.

 

 

3차(Cubic) 베지에 곡선은 점 4개로 위 방법과 똑같이 하면 된다. 

 

참고로 이런식으로 계산한 3차 베지어 곡선의 식은 

$P(t) = s^3A + 3(s^2 t)B + 3(st^2)C + t^3D$ 이다.

 

n차 베지에 곡선은 위 방법에서 점의 개수만 늘려가면 된다. 그리고 보면 알겠지만 n차 베지에 곡선은 결국 t에 대한 n차 함수이다.

 

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에르밋 곡선(Hermite Curve)

 

에르밋 곡선도 1차 2차.. n차가 있지만 검색해보니 3차 말고는 안 쓰는 듯하다.

 

3차 에르밋 곡선은 3차 베지에 곡선에서 변환 가능한 곡선인데, 4개의 점을 사용하는 대신 두 개의 벡터 U, V를 사용한다.

 

 

벡터 U와 V는 k*(B-A)와 k*(D-C)로 표현할 수 있다.

 

 

결국 에르밋 곡선은 베지에 곡선과 상호변환 가능하다. 즉, 베지에 곡선의 또 다른 표현 방법으로 봐도 무방할 것 같다.

 

변환 방법은 다음과 같다.

 

편의를 위해 

$U=3(B-A),  V=3(D-C)$

로 표현한다고 해보자.

 

이걸 다시 쓰면,

$B=A+U/3, C=D-V/3$

이다.

 

잘 정리하면,

 

$P(t) = s^2(1+2t) A + t^2(1+2s)D + s^2tU - st^2V$

으로 3차 에르밋 곡선을 표현할 수 있다.

 

참고로 행렬을 이용해서 표현할 수도 있는데, 모든 s에 $s=1-t$를 대입하면,

 

이렇게 쓸 수 있다.

 

행렬로 표현하면,

 

참고로 P(t)는 t에 대한 3차 함수이므로,

$P(t)=a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3$

이렇게 표현할 수 있다.

이때, P(t)의 1차 도함수는

$P'(t)=a_1+2a_2t+3a_3t^2$

이며 
$A=P(0), D=P(1), U=P'(0), V=P'(1)$

이렇게 표현하여 [A, D, U, V]를 각각 [P(0), P(1), P'(0), P'(1)]로 대체할 수 있다.

 

 

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스플라인(Splines)

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스플라인(Spline)은 곡선들이 서로의 양 끝점에 연결된 것이라고 할 수 있다. 이때 곡선들이 만나는 점을 Knot라 부른다.

베지에 곡선을 기반으로 한 베지에 스플라인과 에르밋 곡선을 기반으로 한 에르밋 스플라인이 존재한다. 

베지에 스플라인

에르밋 스플라인

베지에 곡선과 에르밋 곡선은 둘 다 t에 대한 매개변수 방정식인 P(t)로 표현했다. (t는 [0,1]) 그렇다면 여러 곡선이 모인 스플라인은 어떻게 표현해야 할까? 위의 그림처럼 3개의 곡선이 모인 스플라인이라면 t의 범위는 3배인 [0,3]이 된다. 그러면 t를 [0,1] , (1,2], (2,3]의 세 구간으로 나누어 1,2,3번 곡선에 차례대로 매칭 시켜주면 된다. 예를 들어 t=1.9라면 두 번째 곡선의 매개변수 값으로 0.9를 넣어주면 된다.

 

 

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연속성(Continuity)

스플라인은 단순히 곡선을 연결하면 된다고 할 수 있겠지만, 자연스럽게 연결하기 위해서는 연속성에 대한 개념을 알아야 한다.

 

$C_0$ : 전체 곡선이 연속한다

$C_1$ : 곡선이 연속하고, 각 곡선이 만나는 곳의 접선 벡터가 같다. =0,1차 도함수가 연속이다. (미분 가능하다)

 

C1 연속하지 않은 경우

 

 

$C_2$ : 곡선이 연속하고, 접선 벡터가 같으며, 곡률이 같다. = 0,1,2차 도함수가 연속이다.

 

위 그림에서 B와 A'의 방향이 같다면 C1 연속을 만족한다. 만약 A'와 B의 속도(길이)도 같다면 C2연속을 만족한다.

 

C1연속은 좋은 곡선, C2 곡선은 완벽한 곡선이라 할 수 있다. (3차 스플라인인 경우)

 

C2 연속한 스플라인(3차 에르밋)

 

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캣멀롬(Catmull-Rom) 스플라인

 

3차 에르밋 스플라인의 경우 U, V 벡터를, 3차 베지에 스플라인의 경우 매개 정점 B,C를 매 곡선마다 정의해줘야 하니 매우 귀찮다.

 

그래서 U,V 벡터를 어떤 규칙으로 정하여 3차 에르밋 스플라인을 편하게 만드는 방법이 캣멀롬 스플라인이다.

 

캣멀롬 스플라인을 만드는 방법은 다음과 같다.

 

1. 여러 정점 $P_0,P_1,P_2,...P_k$ 가 있다. 각 정점은 순서대로 연결된다.
2. $P_0$의 시작 벡터(U)와, $P_k$의 끝 벡터는(V) 크기가 0이다.
3. $P_n$의 V벡터와 $P_{n+1}$의 U벡터는 일치한다. (따라서 C2 연속이다.)
4. $P_n$의 벡터는 $P_{n+1}-P_{n-1}$벡터를 2로 나눈 것이다.

 

예를 들면 다음과 같다.

 

위 그림처럼 순서대로 연결될 A,B,C,D 정점이 있다. A의 시작 벡터(U)의 속도는 0이라고 지정한다. 

 

그 후 A, C 정점을 잇는 벡터를 2로 나눈 것을 B의 벡터로 정한다. 

 

반복한다. D의 V벡터는 크기가 0이다.

 

위와 같은 3차 에르밋 스플라인이 완성되었다.

 

 

 

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카디널 (Cardinal) 스플라인

 

카디널 스플라인은 캣멀롬 스플라인에 장력(tension)의 개념을 추가한 것이다. 적용 방법은 매우 간단한데, tension은 [0,1] 구간을 가지며 각 정점에서의 벡터 크기에 (1-tension)을 곱해주기만 하면 된다.

 

 

 

tension = 0.0

 

tension이 0인 경우에는 캣멀롬 스플라인과 같다.

 

tension = 0.5

 

tension이 0.5인 경우 각 벡터 크기는 절반이 된다.

 

tension = 1.0

 

tension 이 1.0인 경우 각 벡터의 속도가 0이므로 모두 직선이 된다.

 

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기타 스플라인

Kochanek_Bartels(KB) 스플라인 : 카디널 스플라인에 Bias,와 Continuity를 추가한 것. 

Basis Splines(B-Splines) : 베지에 스플라인의 한 종류로서 이웃 개념을 추가하여 곡선의 모양을 조절한 것.

 

 

 

 

기타

만약 베지어 곡선과 특정 점 사이에 거리를 구하고 싶다면 아래 글 참고

 

https://tsyang.tistory.com/67

한 점과 가장 가까운 곡선 위의 점 구하기

 

 

참고 : https://www.essentialmath.com/GDC2012/GDC12_Eiserloh_Squirrel_Interpolation-and-Splines.ppt

 

 

 

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